НОВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И НЕКАНОНИЧЕСКАЯ ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРА ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

  • А. И. Дьяченко Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН
  • С. А. Дьяченко Факультет математики, Иллинойский университет в Урбана-Шампейн
  • П. М. Лушников Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН
  • В. Е. Захаров Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН
DOI: 10.29006/1564-2291.JOR-2019.47(1).13
Ключевые слова: несжимаемая жидкость, потенциальное течение, интегрируемость, гамильтонов формализм, конформное отображение

Аннотация

В работе рассматривается потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью и бесконечной глубиной в двух измерениях в поле тяжести и с поверхностным натяжением.
Рассматривается зависящее от времени конформное отображение z(w, t) нижней комплексной полуплоскости переменной w в область, заполненную жидкостью, где действительная ось w отображается на поверхность свободной жидкости. Мы зучаем динамику особенностей как z(w, t), так и комплексного потенциала жидкости Π(w, t) в верхней комплексной полуплоскости w. Мы переформулируем точную эйлерову динамику через неканоническую нелокальную Гамильтонову структуру для пары гамильтоновых переменных (Дьяченко и др., в печати) – мнимая часть z(w, t) и действительная часть Π(w, t) заданы на свободной поверхности жидкости.
Соответствующая скобка Пуассона не вырождена, то есть она не имеет инвариантов Казимира. Любые два функционала конформного отображения коммутируют относительно скобки Пуассона. Новая Гамильтонова структура является обобщением канонической Гамильтоновой структуры (Захаров, 1968) (справедлива только для решений, для которых естественная параметризация поверхности однозначна, то есть каждое значение горизонтальной координаты соответствует только одной точке на свободной поверхности). Напротив, новые неканонические гамильтоновы уравнения справедливы для произвольных нелинейных решений (включая многозначную естественную параметризацию поверхности) и эквивалентны уравнениям Эйлера.
Мы также рассматриваем обобщенную гидродинамику с дополнительными физическими членами в гамильтониане и в уравнениях Эйлера, как в (Лушников и Зубарев, 2018), которые могут быть упрощены и которые позволили найти общие классы частных решений. В Эйлеровом случае мы показали существование решения с произвольным конечным числом N из комплексных полюсов в zw(w, t) и Πw(w, t), которые являются производными z(w, t) и Π(w, t) по w (Дьяченко et al., в печати)Эти решения не являются чисто рациональными, поскольку они обычно имеют точки ветвления в других местах верхней комплексной полуплоскости с, как правило, бесконечным числом листов Римановой поверхности для z(w, t) и Π(w, t) (Лушников, 2016).
Порядок полюсов является произвольным для нулевого поверхностного натяжения, в то время как все порядки являются четными для ненулевого поверхностного натяжения. Мы определили, что вычеты zw(w, t) в этих N точках являются новыми, ранее неизвестными константами движения. Эти константы движения коммутируют друг с другом относительно скобки Пуассона. Кроме этих вычетов имеются и другие интегралы движения. Если все полюсы просты, то число независимых вещественных интегралов движения равно 4N для невесомости и 4N-1 для ненулевой гравитации. Для полюсов более высокого порядка число интегралов увеличивается. Эти нетривиальные константы движения дают аргумент в поддержку гипотезы о полной интегрируемости гидродинамики жидкости со свободной поверхностью.
Работы А. Дьяченко, П. Лушникова и В. Захарова поддержаны госзаданием «Динамика сложных сред».

Литература


  1. Dyachenko A.I., Lushnikov P.M., Zakharov V.E. Non-Canonical Hamiltonian Structure and Poisson Bracket for 2D Hydrodynamics with Free Surface // Submitted to Journal of Fluid Mechanics. 2019. arXiv:1711.02841.

  2. Dyachenko A.I., Dyachenko S.A., Lushnikov P.M., Zakharov V.E. Dynamics of Poles in 2D Hydrodynamics with Free Surface: New Constants of Motion // (Submitted to Journal of Fluid Mechanics. 2019. arXiv:1809.09584.

  3. Lushnikov P.M., Zubarev N.M. Exact solutions for nonlinear development of Kelvin-Helmholtz instability for counterflow of superfluid and normal components of Helium II // Phys. Rev. Lett. 2018. Vol. 120. P. 204–504.

  4. Lushnikov P.M. Structure and location of branch points for Stokes wave on deep water // Journal of Fluid Mechanics. 2016. Vol. 800. P. 557–594.

  5. Zakharov V.E. Stability of periodic waves of finite amplitude on a surface of a deep fluid // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1968. Vol. 9. P. 190–194.
Опубликован
2019-05-28
Раздел
XXVII научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике