АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ПАРЫ ЛАКСА И ОПЕРАТОРА РЕКУРСИИ ДЛЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ

  • И. Т. Хабибуллин Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН
  • А. Р. Хакимова Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН
DOI: 10.29006/1564-2291.JOR-2019.47(1).38
Ключевые слова: интегрируемое уравнение, инвариантное многообразие, линеаризация, пара Лакса, оператор рекурсии

Аннотация

В литературе широко известен метод построения частных решений нелинейных уравнений в частных производных, основанный на понятии дифференциальной связи (или инвариантного многообразия) (Яненко, 1961; Сидоров и др., 1984). Идея метода состоит в том, что к заданному уравнению добавляется совместное с ним уравнение, как правило, более простое. Такой прием позволяет найти частные решения исследуемого уравнения. В работах (Павлова и др., 2017; Хабибуллин и др., 2017, 2018; Хакимова, 2018; Habibullin et al., 2016, 2017, 2018) была предложена схема построения пар Лакса и рекурсионных операторов для интегрируемых уравнений в частных производных, основанная на использовании аналогичной идеи. Подходящее обобщение состоит в том, что мы накладываем дифференциальную связь не к самому уравнению, а к его линеаризации. Полученное в итоге уравнение мы называем обобщенным инвариантным многообразием. В работах (Павлова и др., 2017; Хабибуллин и др., 2017, 2018; Хакимова, 2018; Habibullin et al., 2016, 2017, 2018) показано, что обобщенные инвариантные многообразия позволяют эффективно строить пары Лакса и операторы рекурсии интегрируемых уравнений.
Исследования выполнены при поддержке Программы фундаментальных исследований президиума РАН «Нелинейная динамика: фундаментальные проблемы и приложения».

Литература


  1. Павлова Е.В., Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Об одной интегрируемой дискретной системе // Дифференциальные уравнения. Математическая физика, Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., М.: ВИНИТИ РАН, 2017. Т. 140. С. 30–42.

  2. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике // Новосибирск: Наука, 1984.

  3. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Инвариантные многообразия и пары Лакса для интегрируемых нелинейных цепочек // Теоретическая и математическая физика. 2017. Т. 191. № 3. С. 369–388.

  4. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. О прямом алгоритме построения рекурсионных операторов и пар Лакса для интегрируемых моделей // Теоретическая и математическая физика. 2018. Т. 196. № 2. С. 294–312.

  5. Хакимова А.Р. К задаче описания обобщенных инвариантных многообразий нелинейных уравнений // Уфимский математический журнал. 2018. Т. 10. № 3. С. 110–120.

  6. Яненко Н.Н. Об инвариантных дифференциальных связях для гиперболических систем квазилинейных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1961. Т. 3. С. 185–194.

  7. Habibullin I.T., Khakimova A.R., Poptsova M.N. On a method for constructing the Lax pairs for nonlinear integrable equations // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2016. Vol. 49. No. 3. 35 p. id 035202.

  8. Habibullin I.T., Khakimova A.R. On a method for constructing the Lax pairs for integrable models via a quadratic ansatz // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2017. Vol. 50. No. 30. 19 p. id 305206.

  9. Habibullin I.T., Khakimova A.R. On the recursion operators for integrable equations // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2018. Vol. 51. No. 42. 22 p
Опубликован
2019-05-29
Выпуск
Том 47 № 1 (2019): Океанологические исследования
Раздел
XXVII научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике

Передача авторских прав происходит на основании лицензионного договора между Автором и Федеральным государственным бюджетным учреждением науки Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук (ИО РАН)