КВАЗИ-ЛАГРАНЖЕВОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ И БУССИНЕСКА В НЕВЯЗКОМ ПРЕДЕЛЕ

Аннотация

Для систем гидродинамического типа, описывающих локально несжимаемые двумерные течения жидкостей в отсутствии диссипации, предложен квази-лагранжевый метод их интегрирования. Этот метод основан на применении неполного преобразования Лежандра, когда независимыми переменными становятся лагранжев инвариант (т.е. неизменная величина вдоль траектории жидкой частицы) вместо одной из двух декартовых координат, а остальные – другая декартова координата и время – остаются неизменными. Таким образом, этот метод основан на обратном преобразовании одной из декартовых координат и по этой причине отличается от полного преобразования Лежандра. Классический пример полного преобразования Лежандра – это преобразование годографа для решения уравнений одномерного изоэнтропического течения газа. В данной работе показано, что уравнение для лагранжевого инварианта после применения неполного преобразования Лежандра и введения функций тока превращается в линейное уравнение и может быть разрешено путем введения производящей функции. Этот метод оказался эффективным для решения двумерного невязкого уравнения Прандтля (это уравнение описывает поведение погранслоя), что дало возможность проинтегрировать это уравнение полностью. В качестве лагранжевого инварианта в случае нулевого градиента давления выступает компонента скорости вдоль твердой границы. Полученное решение записывается через начальные условия и удовлетворяет граничным условиям непротекания на твердой границе. Анализ этих решений показывает возникновение особенности для градиента скорости на границе. Эта особенность возникает за счет опрокидывания потока. В точке опрокидывания градиент скорости обращается в бесконечность по степенному закону ~(t₀–t)^-1 , где t₀ – время образования особенности. Данное решение описывает появление сингулярности типа складки, которое, возможно, связано с явлением отрыва. Показано также, что уравнение Прандтля допускает интегрирование для произвольной зависимости давления от продольной координаты. Наиболее просто ответы записываются для случая постоянного градиента давления вдоль стенки. Для системы Буссинеска уравнение для плотности может быть разрешено с помощью этого метода, в результате система сводится к одному уравнению для производящей функции.
Данная работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований президиума РАН «Нелинейная динамика: фундаментальные проблемы и приложения».