ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ В ЗАДАЧАХ О МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ И ЕГО СВЯЗЬ С ВАРИАЦИОННЫМ ПРИНЦИПОМ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ГИДРОДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ НИТЕЙ
Аннотация
В работе рассматривается описание вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости на основе формализма лагранжевой механики. Используя поле смещения жидких частиц в качестве обобщенной координаты, выписывается лагранжиан, описывающий динамику малых возмущений (Копьев, Чернышев, 2018). Соответствующие уравнения Лагранжа представляют собой уравнение для поля смещения (Drazin, Reid, 1981). Это уравнение эквивалентно уравнению Гельмгольца для возмущений завихренности. Поле смещения определяется как разность положений жидких частиц на траекториях в возмущенном и невозмущенном течениях. Хотя это определение дается в терминах лагранжевых переменных, связанных с жидкими частицами, само поле смещения является эйлеровой переменной, выражающейся через возмущения скорости и завихренности.
Рассмотрен пример использования лагранжиана для решения задачи о сохранении квадрупольного момента вихревого течения. С использованием теоремы Нетер получены условия на стационарное течение, при выполнении которых квадрупольный момент малых возмущений этого течения является интегралом движения (Копьев, Чернышев, 2018). Показано, что эти условия выполняются для струйных течений, однородных вдоль продольной координаты. Полученный результат имеет важное значение в аэроакустике в связи с тем, что квадрупольный момент вихревого течения представляет собой главный член разложения компактного акустического источника по числу Маха (Lighthill, 1952; Crow,1970).
Рассмотрено обобщение этих результатов на нелинейный случай. Получен лагранжиан для произвольного нелинейного поля смещения. Соответствующие уравнения Лагранжа совпадают с дифференциальными уравнениями, описывающими нелинейную динамику поля смещения (Morrison, 1998), а разложение лагранжиана по малым возмущениям до квадратичных членов дает лагранжиан линейной системы.
Рассматривается вопрос о взаимосвязи предложенного подхода к описанию динамики несжимаемой жидкости и известных подходов, основанных на формализме лагранжевой механики с координатами жидких частиц в качестве обобщенных координат (Chapman, 1978; Гончаров, Павлов, 2008; Кузнецов, Рубан, 1998). Показано, что переход от лагранжиана, полученного в (Кузнецов, Рубан, 1998), к виду для произвольного нелинейного поля смещения, может быть осуществлен преобразованием лагранжевых переменных (координат жидких частиц) к эйлеровым переменным (полю смещения).
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ №17-11-01271.
Литература
- Гончаров В.П., Павлов В.И. Гамильтоновая вихревая и волновая динамика. М.: ГЕОС, 2008. 431 с.
- Копьев В.Ф., Чернышев С.А. Развитие методов лагранжевой и гамильтоновой механики применительно к задачам аэроакустики // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 6. С. 677–688.
- Кузнецов Е.А., Рубан В.П. Гамильтоновская динамика вихревых линий в системах гидродинамического типа // Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. № 12. С. 1015–1020.
- Chapman D. Ideal vortex motion in two dimensions: symmetries and conservation laws // J. Math. Phys. 1978. Vol. 19(9). P. 1988–1992.
- Crow S.C. Aerodynamic sound emission as a singular perturbation problem // Studies in Applied Mathematics. 1970. Vol. 49. No. 1. P. 21–44.
- Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.
- Lighthill M.I. On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound // Proc. R. Soc. 1952. Vol. A222, No. 1148. P. 1–32.
- Morrison P.J. Hamiltonian description of the ideal fluid // Review of Modern Physic, 1998, Vol.70, N.2, P.467-521.
Передача авторских прав происходит на основании лицензионного договора между Автором и Федеральным государственным бюджетным учреждением науки Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук (ИО РАН)
