ЭВОЛЮЦИЯ ВОЛНОВЫХ ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ ПОЛНОСТЬЮ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ СЕРРА

Аннотация

Хотя теория мелкой воды является классическим предметом исследований с огромным количеством посвященных ей работ, она по-прежнему остается очень активной областью исследований со множеством важных приложений. В случае пренебрежения эффектами диссипации и неровностью дна, присутствие нелинейности и дисперсии приводит к довольно сложным волновым формам, которые в решающей степени зависят от начального профиля импульса. Если эффекты нелинейности и дисперсии учитываются в самом низком приближении и имеется только однонаправленное распространение волны, то ее динамика определяется знаменитым уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ). Сравнение с экспериментами показывает, что приближение КдФ недостаточно хорошо и нужно выйти за его пределы. Поэтому значительные усилия были направлены на выведение соответствующего волнового уравнения, которое было бы способно лучше описывать систему. Одна из самых популярных моделей была впервые предложена и подробно изучена Серра (Serre, 1953). Для такой модели, в которой эволюция описывается уравнением Серра (Су-Гарднера, Грина-Нахди), Элем было сделано важное исследование закона сохранения «количества волн» и его солитонного аналога (El, 2006), с помощью которого можно найти законы движения краев дисперсионной ударной волны (ДУВ) в задачах, связанных с автомодельной эволюцией ступени, таких как начальные разрывы. В работе (Kamchatnov, 2018) были показаны методы, позволяющие выйти за рамки такого начального профиля. В настоящей статье мы покажем применение методов этой работы к исследованию эволюции начальных импульсов в виде простой волны в теории уравнений Серра и дадим аналитическое решение для законов движения краев ДУВ, образуемых в процессе эволюции начального импульса. Аналитические результаты подтверждены численными расчетами.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-01-00178 А.