КОМПАКТНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ИМИТИРУЮЩИЕ ЗАДАЧУ КОШИ

  • В. А. Гордин Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» & ФГБУ «Гидрометцентр России»
DOI: 10.29006/1564-2291.JOR-2019.47(1).9
Ключевые слова: компактная разностная схема, тестовые функции, порядок точности, экстраполяция Ричардсона, разрывный коэффициент диффузии, прозрачные граничные условия, имитирующие задачу Коши

Аннотация

Компактные разностные схемы хорошо известны и демонстрируют высокий порядок точности для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Разработаны алгоритмы построения компактных схем 4-го порядка для краевых задач с переменным (гладким и со скачком) коэффициентом. Для уравнений диффузии с гладким переменным коэффициентом и уравнения Левина-Леонтовича также построены разностные схемы и экспериментально подтвержден их 4-й порядок. Метод построения компактных схем 4-го порядка можно обобщить на уравнения и системы в частных производных со слабой нелинейностью, например, на уравнение Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова, нелинейное уравнение Шредингера или на систему Фитцхью – Нагумо. Для нелинейных задач используется комбинация простых явных схем и релаксации. Экстраполяция Ричардсона позволяет повысить порядок схем до 6-го.
Для аппроксимации многомерных задач с разрывными коэффициентами, например, двумерного стационарного уравнения диффузии в разнородных средах необходимо оценить возможные асимптотики решений в окрестности изломов линии границы. Для этого используются обобщенные собственные функции в угле, каковые можно использовать в качестве набора тестовых функций и строить компактные разностные схемы, аппроксимирующие задачу на треугольных сетках с высоким порядком точности. Асимптотики по радиусу обобщенных собственных функций (в полярных координатах в окрестности вершины угла) имеют иррациональные показатели, которые можно найти из специального дисперсионного уравнения и которые определяют индексы соответствующих функций Бесселя по радиусу.
Для ряда разностных схем, аппроксимирующих важнейшие эволюционные уравнения математической физики можно построить специальные граничные условия, имитирующие задачу Коши (ИЗК) на всей прямой. Эти условия ИЗК существенно зависят не только от исходного уравнения, но и от типа разностной схемы и даже от коэффициентов соответствующего дифференциального уравнения. Условия ИЗК определяются с точностью до нормировки. Но при численной реализации выбор этой нормировки оказывается существен. Важна роль рациональных аппроксимаций типа Паде-Эрмита символа соответствующего псевдодифференциального оператора. Примеры movie решений задач с условиями ИЗК для разностных схем, аппроксимирующих основные уравнения мат. физики см. https://cs.hse.ru/mmsg/transbounds.
Работа была поддержана грантом № 18-05-0011 в рамках Программы «Научный фонд Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ)» 2018–2019 гг. и в рамках государственной поддержки ведущих университетов Российской Федерации «5–100».

Литература


  1. Гордин В.А. О смешанной краевой задаче, имитирующей задачу Коши // Успехи матем. наук. 1978. Т. 33(5). С. 181–182.

  2. Гордин В.А. Применение проекторов в прогностических схемах // Труды Гидрометцентра СССР. 1978. № 212. С. 79–96.

  3. Гордин В.А. Граничное условие полного поглощения волн, выходящих из прогностической области для дифференциального уравнения в частных производных // Труды Гидрометцентра СССР. 1982. № 242. С. 104–120.

  4. Гордин В.А. Применение векторной аппроксимации Паде для численного решения эволюционных прогностических уравнений // Метеорология и гидрология. 1982. № 11. С. 24–37.

  5. Гордин В.А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные аспекты. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1987. 264 с.

  6. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012–2013. 733 с.

  7. Гордин В.А. Дифференциальные и разностные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать. М.: Изд. дом ВШЭ, 2016. 530 с.

  8. Гордин В.А., Цымбалов Е.А. Разностная схема 4-го порядка точности для дифференциального уравнения с переменными коэффициентами // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 7. С. 13–14.

  9. Гордин В.А., Цымбалов Е.А. Компактная разностная схема для дифференциального уравнения с кусочно-постоянным коэффициентом // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 12. С. 16–28.

  10. Gordin V.A., Tsymbalov E.A. Compact difference schemes for the diffusion and Schrodinger equations. Approximation, stability, convergence, effectiveness, monotony // Journal of Computational Mathematics. 2014. Vol. 32. No. 3. P. 348–370. http://www.global-sci.org/jcm/galley/JCMCR-14.pdf.

  11. Gordin V.A., Tsymbalov E.A. Compact difference schemes for weakly-nonlinear parabolic and Schrodinger-type equations and systems // arXiv preprint arXiv. 2017. 1712.05185.

  12. Gordin V.A., Tsymbalov E.A. Compact difference scheme for parabolic and Schrodinger-type equations with variable coefficients // J. Comp. Phys. 2018. Vol. 375. P. 1451–1468.

  13. Gordin V.A., Shemendyuk A.A. Transparent Boundary Conditions for the Equation of Rod Transverse Vibrations // Submitted to Journal of Sound and Vibration. 2018. https://arxiv.org/submit/2447606/view
Опубликован
2019-05-28
Раздел
XXVII научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике